01 Dualsystem

Das Dezimalsystem

Wir sind es gewohnt, im sogenannten Dezimalsystem zu rechnen. Wie sein Name nahelegt gibt es dort zehn verschiedene Ziffern, nämlich:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Aus diesen Ziffern kann man Zahlen zusammensetzen. Dabei haben die Ziffern je nach ihrer Position verschiedene Bedeutungen. Das ist uns aus dem Alltag mittlerweile so bekannt, dass wir gar nicht mehr darüber nachdenken. Führen wir es uns daher am Beispiel der Zahl 1628 vor Augen:

Position Tausender Hunderter Zehner Einer
Ziffer 1 6 2 8
Wert 1000 600 20 8

In der Tabelle sieht man, dass die Zahl Eintausendsechshundertachtundzwanzig im Dezimalsystem in ihre Stellen zerlegt werden kann:

1×1000 + 6×100 + 2×10 + 8×1 = 1628

Bei größeren Zahlen ist es übersichtlicher, statt 100, 1000, 10000,… lieber 102, 103, 104,… zu schreiben:

Position 104 103 102 101 1
Ziffer 0 1 5 3 7
Wert 2 1000 50 30 7

Hier haben wir also diese Darstellung:

2×104 + 1×103 + 5×102 + 3×101 + 7×1 = 21537

Diese Potenzschreibweise wird uns helfen, die anderen Systeme besser zu verstehen.

Aufgrund dieser Schreibweise sagt man übrigens, dass man im Dezimalsystem die Basis 10 verwendet.

Das Dualsystem

Um es ganz kurz zu sagen: Anstatt der Basis 10 benutzt man hier die Basis 2. Daher gibt es hier nur zwei Ziffern:

0, 1

Eine Zahl im Dualsystem ist also zum Beispiel 101011100(2). Die 2 in Klammern schreibt man dahinter, um klar zu machen, dass diese Zahl im Dualsystem – oder auch Binärsystem genannt – geschrieben wurde.

Um herauszufinden, welche Dezimalzahl hinter dieser Dualzahl steckt, können wir wieder eine Tabelle anlegen. Diese sieht unseren Tabellen aus dem letzten Abschnitt recht ähnlich:

Position 128er 64er 32er 16er 8er 4er 2er 1er
Ziffer 1 1 0 1 1 1 0 0
Wert 0 64 0 16 8 4 0 0

Den Wert der Zahl finden wir also so:

11011100(2) =  128 + 64 + 16 + 8 + 4 = 220(10)

Hier schreiben wir zur Sicherheit die 10 dahinter, um Verwechslungen zu vermeiden.

Die Umwandlung vom Dual- ins Dezimalsystem wird in diesem Clip inklusive einer paar Übungsaufgaben noch einmal gründlich erklärt:

Kommen wir nun zur umgekehrten Richtung. Es gibt verschiedene Vorgehensweisen, um eine Zahl vom Dezimal- ins Dualsystem zu übertragen. Die einfachste Methode verwendet dieselbe Tabelle. Nehmen wir zum Beispiel die 23. Wir können dann in unserer Tabelle nachsehen, welches die höchste Stelle ist, die in die 23 hineinpasst. Das ist die 16, so dass wir dort eine 1 schreiben:

Position 128er 64er 32er 16er 8er 4er 2er 1er
Ziffer 1
Wert 16

Nun rechnen wir 23 – 16 = 7 und sehen so, dass wir mithilfe der weiteren Stellen in der Tabelle die übrige 7 darstellen müssen. An der Achterstelle können wir keine 1 schreiben, aber an der Viererstelle:

Position 128er 64er 32er 16er 8er 4er 2er 1er
Ziffer 1 0 1
Wert 16 0 4

Nun bleiben uns noch 3 auf die restlichen Stellen zu verteilen. Das geht mit der Zweier- und der Einerstelle:

Position 128er 64er 32er 16er 8er 4er 2er 1er
Ziffer 1 0 1 1 1
Wert 16 0 4 2  1

Kurz gesagt füllen wir von links nach rechts die Tabelle mit so vielen Einsen wie es geht. Dieses Verfahren üben wir auch hier noch einmal:

Die folgende alternative Methode mag auf den ersten Blick umständlich erscheinen, funktioniert, wenn man sie etwas geübt hat, aber sehr gut. Außerdem hat sie den Vorteil, dass sie sich sehr leicht mit einem Computer (zum Beispiel mit einem Tabellenkalkulationssystem) umsetzen lässt. Sie funktioniert wie folgt.

Wir nehmen die gegebene Zahl und dividieren diese immer wieder durch 2, wobei wir uns jedes mal den Rest merken. Nehmen wir zum Beispiel die 77:

77 ÷ 2 = 38 Rest 1
38 ÷ 2 = 19 Rest 0
19 ÷ 2 = 9 Rest 1
9 ÷ 2 = 4 Rest 1
4 ÷ 2 = 2 Rest 0
2 ÷ 2 = 1 Rest 0
1 ÷ 2 = 0 Rest 1

Wenn wir nun die Reste rückwärts – also von unten nach oben – aufschreiben, erhalten wir die gesuchte Darstellung:

77(10) = 1001101(2)

Dies ist das sogenannte Hornerschema. Auch zu diesem Verfahren gibt es einen Clip mit weiteren Beispielen:

Neugierige können in diesem Clip erfahren, warum das Hornerschema überhaupt funktioniert:

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