Potenzfunktionen

Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten

Einführung

In der Mittelstufe haben wir die Funktion f(x)=x^2 bereits kennengelernt. Diese sehr einfache quadratische Funktion beschreibt die Normalparabel.

Wir sehen uns nun Funktionen an, deren Term sehr ähnlich aussieht: Statt der 2 im Exponenten setzen wir nun verschiedene natürliche Zahlen ein, d.h., wir betrachten Funktionen der Form

    \[ f(x) = x^n \]

wobei n dann 1, 2, 3, 4,\dots sein darf. Solche Funktionen nennt man Potenzfunktionen (mit natürlichem Exponenten oder positivem gazahligem Exponenten).

Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Sehen wir uns als Beispiele für Funktionen mit geradem Exponenten die Graphen der Funktionen f(x) = x^2, g(x)=x^4 und h(x)=x^6 an:

Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten
Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten, dargestellt im TI Nspire CX CAS.

In Rot sehen wir wieder die bekannte Normalprabel. Die anderen beiden Graphen besitzen zwar eine gewisse Ähnlichkeit dazu, aber sie verlaufen im Bereich um den Ursprung deutlich flacher, werden dann jedoch steiler. Trotz der Ähnlichkeit zu einer Parabel werden diese Kurven aber nicht als Parabeln bezeichnet.

Halten wir einige Gemeinsamkeiten der Graphen fest:

  • Alle Graphen verlaufen durch den Ursprung (0|0).
  • Alle Graphen sind achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, d.h., die werden an dieser Achse gespiegelt.
  • Die Graphen kommen nie in den Bereich unterhalb der x-Achse.
  • Alle Graphen verlaufen durch die beiden Punkte (-1|1) und (1|1).
  • Geht man immer weiter nach rechts oder immer weiter nach links, so steigen die Graphen immer weiter nach oben bis „ins Unendliche“.

Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

Kommen wir nun zu Beispielen mit ungeraden Exponenten. Hier betrachten wir exemplarisch die Exponenten 1, 3 und 5:

Graphen von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten
Graphen von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Der Graph zu f(x)=x^1 fällt etwas aus der Reihe, da er als einziger eine Gerade beschreibt. Dennoch gelten alle folgenden Gemeinsamkeiten auch für ihn:

  • Alle Graphen verlaufen durch den Ursprung (0|0).
  • Alle Graphen sind punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs.
  • Alle Graphen verlaufen durch die beiden Punkte (-1|-1) und (1|1).
  • Geht man immer weiter nach rechts, so steigen die Graphen immer weiter nach oben bis „ins Unendliche“.
  • Geht man immer weiter nach links, so fallen die Graphen immer weiter nach unten bis „ins negative Unendliche“.

Vertiefung zur Symmetrie

Die beiden beobachteten Symmetrien können wir auch mathematisch wie folgt beschreiben:

Der Graph einer Funktion f ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn gilt f(-x)=-f(x). Der Graph einer Funktion f ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, wenn gilt f(-x)=f(x).
Die beiden verschiedenen Symmetrieformen bei Potenzfunktionen
Die beiden verschiedenen Symmetrieformen bei Potenzfunktionen

Betrachten wir als Beispiel f(x)=x^3. Hier gilt beispielsweise f(2)=2^3=8. D.h., wenn wir vom Ursprung aus 2 Einheiten nach rechts gehen, dann müssen wir 8 Einheiten nach oben, um auf dem Graphen zu bleiben. Gehen wir hingegen vom Ursprung aus 2 Einheiten nach links, so müssen wir 2 Einheiten nach unten – also genau in die andere Richtung. Es gilt also f(-2) = -8 = -f(2).

Betrachten wir hingegen g(x)=x^4, ergibt sich ein anderes Bild. Hier gilt g(2)=2^4=16 und ebenfalls g(-2)=16. D.h., wenn wir vom Ursprung aus 2 Einheiten nach rechts oder links gehen, müssen wir in beiden Fällen 16 Einheiten nach oben, um auf dem Graphen zu bleiben.

Dieser Unterschied ergibt sich daraus, dass bei den geraden Exponenten das negative Vorzeichen verloren geht. Bei einem ungeraden Exponenten hingegen bleibt das Vorzeichen erhalten.

Vertiefung zum Globalverhalten

Mit dem Globalverhalten beschreibt man, was geschieht, wenn man in eine Funktion immer größere x-Werte oder auch immer kleinere negative x-Werte einsetzt. Mit anderen Worten: Man untersucht, wie sich der Graph verhält, wenn man auf der x-Achse immer weiter nach rechts oder immer weiter nach links wandert.
Etwas formaler sagt man, man betrachtet, was passiert, wenn x gegen unendlich geht (in Zeichen x\rightarrow\infty) oder gegen minus unendlich geht (in Zeichen x\rightarrow\-\infty).

Graphen von Potenzfunktionen
Die Graphen links zeigen ein anderes Globalverhalten als die rechts.

Wir haben bereits gesehen, dass das Globalverhalten bei Potenzefunktionen davon abhängt, ob der Exponent gerade oder ungerade ist:

Ungerader Exponent Gerader Exponent
x\rightarrow\infty Der Graph wandert unendlich weit nach oben, d.h., f(x)\rightarrow\infty. Der Graph wandert unendlich weit nach oben, d.h., f(x)\rightarrow\infty.
x\rightarrow-\infty Der Graph wandert unendlich weit nach unten, d.h., f(x)\rightarrow-\infty. Der Graph wandert unendlich weit nach oben, d.h., f(x)\rightarrow\infty.

Die Wachstumseigenschaft

Bei der Wachstumseigenschaft fragt man sich, ob es Regelmäßigkeiten beim Zusammenhang zwischen den x– und y-Werten gibt, oder anders ausgedrückt, ob es Veränderungen des x-Wertes bei denen man besonders schön die Veränderung des y-Wertes beschreiben kann.

Sehen wir uns dazu ein paar Beispielfunktionen an:

Die Graphen von vier Potenzfunktionen.
Die Graphen von vier Potenzfunktionen

Die Funktion f_1(x) = x (deren Graph hier in Rot zu sehen ist) ist natürlich besonders einfach. Eine Veränderung des x-Wertes überträgt sich unmittelbar auf den y-Wert.
Wird z.B. der x-Wert 3 größer, dann auch der y-Wert. Wird der x-Wert verdoppelt, so verdoppelt sich auch der y-Wert.

Wie sieht es bei der Funktion f_2(x)= x^2 (mit dem blauen Graphen) aus?
Wenn wir hier auf den x-Wert einen festen Wert addieren, ist beim y-Wert beine klare Regelmäßigkeit zu erkennen:

Wertetabelle von f2
Wird der x-Wert 1 größer, verändert sich der y-Wert nicht immer in derselben Form.

Der Ansatz, immer einen festen Wert zu addieren, ist hier also nicht zielführend.

Anders sieht es aber aus, wenn wir den x-Wert immer mit einer festen Zahl multiplizieren. Beispielsweise könnten wir ihn immer verdoppeln:

Wertetabelle
Hier erkennen wir durchaus eine Regel!

Wir sehen, dass sich der y-Wert immer vervierfacht, wenn wir den x-Wert vedoppeln.
Nun stellt sich die Frage, was passiert, wenn wir mit anderen Zahlen multiplizieren:

Wertetabelle
Nicht nur beim Verdoppeln ergibt sich eine Regel.

Halten wir einmal in einer Tabelle fest, welche Regeln man hier erkennen oder auch allgemein vermuten kann:

x-Wert wird multipliziert mit… y-Wert wird multipliziert mit…
2 4 = 2^2
3 9 = 3^2
k k^2

Die allgemeine Regel in der letzten Zeile kann man auch schreiben als f(k\cdot x)=k^2 \cdot f(x).

Auch bei den anderen Potenzfunktionen können wir eine solche Regel finden. Für eine belieibige Potenzfunktion f(x)=x^n gilt:

    \[ f(k\cdot x) = k^n \cdot x\]

Dass diese sogenannte Wachstumseigenschaft tatsächlich gilt, sehen wir mit einer kleinen Rechnung:

    \begin{align*} f(k\cdot x) &= (k\cdot x)^n\\ &= k^n \cdot x^n\\ &= k^n \cdot f(x) \end{align*}

Potenzielles Wachstum

Wenn wir statt nur Funktionen der Form f(x)=x^n etwas allgemeiner auch die Form

    \[f(x)= a \cdot x^n\]

mit einer festen Zahl a zulassen, dann sprechen wir von potenziellem Wachstum.

Ist a positiv, dann ergeben sich die zugehörigen Graphen aus den uns schon bekannten Graphen durch Strecken oder Stauchen:

Einige Graphen
Die Graphen werden gestreckt oder gestaucht.

Ist a hingegen negativ, dann wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt:

Einige Graphen
Der Graph in Orange wurde gespiegelt.

Wie der sogenannte Streckungsfaktor a lautet, lässt sich gut am Graphen erkennen: Man muss nur den y-Wert bei x=1 ablesen.
Das liegt daran, dass f(1) = a \cdot 1^n = a gilt.

Die Wachstumseigenschaft bleibt übrigens auch hier richtig, d.h., auch hier gilt f(k \cdot x) = k^n \cdot f(x).

Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten

Potenzfunktionen mit Brüchen im Exponenten

 

Für die Erstellung der Inhalte wurde die Software des TI-Nspire™ CX CAS verwendet, eingetragene Warenzeichen von Texas Instruments.