Potenzfunktionen

Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten

Einführung

In der Mittelstufe haben wir die Funktion f(x)=x^2 bereits kennengelernt. Diese sehr einfache quadratische Funktion beschreibt die Normalparabel.

Wir sehen uns nun Funktionen an, deren Term sehr ähnlich aussieht: Statt der 2 im Exponenten setzen wir nun verschiedene natürliche Zahlen ein, d.h., wir betrachten Funktionen der Form

    \[ f(x) = x^n \]

wobei n dann 1, 2, 3, 4,\dots sein darf. Solche Funktionen nennt man Potenzfunktionen (mit natürlichem Exponenten oder positivem gazahligem Exponenten).

Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Sehen wir uns als Beispiele für Funktionen mit geradem Exponenten die Graphen der Funktionen f(x) = x^2, g(x)=x^4 und h(x)=x^6 an:

Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten
Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten, dargestellt im TI Nspire CX CAS.

In Rot sehen wir wieder die bekannte Normalprabel. Die anderen beiden Graphen besitzen zwar eine gewisse Ähnlichkeit dazu, aber sie verlaufen im Bereich um den Ursprung deutlich flacher, werden dann jedoch steiler. Trotz der Ähnlichkeit zu einer Parabel werden diese Kurven aber nicht als Parabeln bezeichnet.

Halten wir einige Gemeinsamkeiten der Graphen fest:

  • Alle Graphen verlaufen durch den Ursprung (0|0).
  • Alle Graphen sind achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, d.h., die werden an dieser Achse gespiegelt.
  • Die Graphen kommen nie in den Bereich unterhalb der x-Achse.
  • Alle Graphen verlaufen durch die beiden Punkte (-1|1) und (1|1).
  • Geht man immer weiter nach rechts oder immer weiter nach links, so steigen die Graphen immer weiter nach oben bis „ins Unendliche“.

Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

Kommen wir nun zu Beispielen mit ungeraden Exponenten. Hier betrachten wir exemplarisch die Exponenten 1, 3 und 5:

Graphen von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten
Graphen von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Der Graph zu f(x)=x^1 fällt etwas aus der Reihe, da er als einziger eine Gerade beschreibt. Dennoch gelten alle folgenden Gemeinsamkeiten auch für ihn:

  • Alle Graphen verlaufen durch den Ursprung (0|0).
  • Alle Graphen sind punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs.
  • Alle Graphen verlaufen durch die beiden Punkte (-1|-1) und (1|1).
  • Geht man immer weiter nach rechts, so steigen die Graphen immer weiter nach oben bis „ins Unendliche“.
  • Geht man immer weiter nach links, so fallen die Graphen immer weiter nach unten bis „ins negative Unendliche“.

Vertiefung zur Symmetrie

Die beiden beobachteten Symmetrien können wir auch mathematisch wie folgt beschreiben:

Der Graph einer Funktion f ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn gilt f(-x)=-f(x). Der Graph einer Funktion f ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, wenn gilt f(-x)=f(x).
Die beiden verschiedenen Symmetrieformen bei Potenzfunktionen
Die beiden verschiedenen Symmetrieformen bei Potenzfunktionen

Betrachten wir als Beispiel f(x)=x^3. Hier gilt beispielsweise f(2)=2^3=8. D.h., wenn wir vom Ursprung aus 2 Einheiten nach rechts gehen, dann müssen wir 8 Einheiten nach oben, um auf dem Graphen zu bleiben. Gehen wir hingegen vom Ursprung aus 2 Einheiten nach links, so müssen wir 2 Einheiten nach unten – also genau in die andere Richtung. Es gilt also f(-2) = -8 = -f(2).

Betrachten wir hingegen g(x)=x^4, ergibt sich ein anderes Bild. Hier gilt g(2)=2^4=16 und ebenfalls g(-2)=16. D.h., wenn wir vom Ursprung aus 2 Einheiten nach rechts oder links gehen, müssen wir in beiden Fällen 16 Einheiten nach oben, um auf dem Graphen zu bleiben.

Dieser Unterschied ergibt sich daraus, dass bei den geraden Exponenten das negative Vorzeichen verloren geht. Bei einem ungeraden Exponenten hingegen bleibt das Vorzeichen erhalten.

Vertiefung zum Globalverhalten

Mit dem Globalverhalten beschreibt man, was geschieht, wenn man in eine Funktion immer größere x-Werte oder auch immer kleinere negative x-Werte einsetzt. Mit anderen Worten: Man untersucht, wie sich der Graph verhält, wenn man auf der x-Achse immer weiter nach rechts oder immer weiter nach links wandert.
Etwas formaler sagt man, man betrachtet, was passiert, wenn x gegen unendlich geht (in Zeichen x\rightarrow\infty) oder gegen minus unendlich geht (in Zeichen x\rightarrow\-\infty).

Graphen von Potenzfunktionen
Die Graphen links zeigen ein anderes Globalverhalten als die rechts.

Wir haben bereits gesehen, dass das Globalverhalten bei Potenzefunktionen davon abhängt, ob der Exponent gerade oder ungerade ist:

Ungerader Exponent Gerader Exponent
x\rightarrow\infty Der Graph wandert unendlich weit nach oben, d.h., f(x)\rightarrow\infty. Der Graph wandert unendlich weit nach oben, d.h., f(x)\rightarrow\infty.
x\rightarrow-\infty Der Graph wandert unendlich weit nach unten, d.h., f(x)\rightarrow-\infty. Der Graph wandert unendlich weit nach oben, d.h., f(x)\rightarrow\infty.

Die Wachstumseigenschaft

Bei der Wachstumseigenschaft fragt man sich, ob es Regelmäßigkeiten beim Zusammenhang zwischen den x– und y-Werten gibt, oder anders ausgedrückt, ob es Veränderungen des x-Wertes bei denen man besonders schön die Veränderung des y-Wertes beschreiben kann.

Sehen wir uns dazu ein paar Beispielfunktionen an:

Die Graphen von vier Potenzfunktionen.
Die Graphen von vier Potenzfunktionen

Die Funktion f_1(x) = x (deren Graph hier in Rot zu sehen ist) ist natürlich besonders einfach. Eine Veränderung des x-Wertes überträgt sich unmittelbar auf den y-Wert.
Wird z.B. der x-Wert 3 größer, dann auch der y-Wert. Wird der x-Wert verdoppelt, so verdoppelt sich auch der y-Wert.

Wie sieht es bei der Funktion f_2(x)= x^2 (mit dem blauen Graphen) aus?
Wenn wir hier auf den x-Wert einen festen Wert addieren, ist beim y-Wert beine klare Regelmäßigkeit zu erkennen:

Wertetabelle von f2
Wird der x-Wert 1 größer, verändert sich der y-Wert nicht immer in derselben Form.

Der Ansatz, immer einen festen Wert zu addieren, ist hier also nicht zielführend.

Anders sieht es aber aus, wenn wir den x-Wert immer mit einer festen Zahl multiplizieren. Beispielsweise könnten wir ihn immer verdoppeln:

Wertetabelle
Hier erkennen wir durchaus eine Regel!

Wir sehen, dass sich der y-Wert immer vervierfacht, wenn wir den x-Wert vedoppeln.
Nun stellt sich die Frage, was passiert, wenn wir mit anderen Zahlen multiplizieren:

Wertetabelle
Nicht nur beim Verdoppeln ergibt sich eine Regel.

Halten wir einmal in einer Tabelle fest, welche Regeln man hier erkennen oder auch allgemein vermuten kann:

x-Wert wird multipliziert mit… y-Wert wird multipliziert mit…
2 4 = 2^2
3 9 = 3^2
k k^2

Die allgemeine Regel in der letzten Zeile kann man auch schreiben als f(k\cdot x)=k^2 \cdot f(x).

Auch bei den anderen Potenzfunktionen können wir eine solche Regel finden. Für eine belieibige Potenzfunktion f(x)=x^n gilt:

    \[ f(k\cdot x) = k^n \cdot x\]

Dass diese sogenannte Wachstumseigenschaft tatsächlich gilt, sehen wir mit einer kleinen Rechnung:

    \begin{align*} f(k\cdot x) &= (k\cdot x)^n\\ &= k^n \cdot x^n\\ &= k^n \cdot f(x) \end{align*}

Potenzielles Wachstum

Wenn wir statt nur Funktionen der Form f(x)=x^n etwas allgemeiner auch die Form

    \[f(x)= a \cdot x^n\]

mit einer festen Zahl a zulassen, dann sprechen wir von potenziellem Wachstum.

Ist a positiv, dann ergeben sich die zugehörigen Graphen aus den uns schon bekannten Graphen durch Strecken oder Stauchen:

Einige Graphen
Die Graphen werden gestreckt oder gestaucht.

Ist a hingegen negativ, dann wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt:

Einige Graphen
Der Graph in Orange wurde gespiegelt.

Wie der sogenannte Streckungsfaktor a lautet, lässt sich gut am Graphen erkennen: Man muss nur den y-Wert bei x=1 ablesen.
Das liegt daran, dass f(1) = a \cdot 1^n = a gilt.

Die Wachstumseigenschaft bleibt übrigens auch hier richtig, d.h., auch hier gilt f(k \cdot x) = k^n \cdot f(x).

Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten

Einführung

Sehen wir uns zur Einführung dieser Art von Funktion ein paar dazu passende Sachzusammenhänge an.

Hyperbel
Die Dauer des Schulwegs in Abhängigkeit der Geschwindigkeit

Stellen wir uns als Erstes vor, wir hätten jeden Morgen einen Schulweg von einem Kilometer zurückzulegen. Natürlich sind wir nicht jeden Tag gleich schnell unterwegs. Je schneller wir gehen, desto kürzer ist die Dauer des Wegs.
Gehen wir zum Beispiel mit einer (sehr langsamen) Geschwindigkeit von 1~\mathrm{km}/\mathrm{h}, so brauchen wir genau eine Stunde – denn pro Stunde schaffen wir dann ja genau einen Kilometer.

Sind aber aber zügiger unterwegs und gehen mit 6~\mathrm{km}/\mathrm{h}, so brauchen wir für den einen Kilometer nur \frac{1}{6} Stunde – denn pro Stunde würden wir ja sechs Kilometer hinter uns legen – oder mit anderen Worten, 10 Minuten.

Wie lange wir bei einer bestimmten Geschwindigkeit benötigen, können wir einfach ausrechnen, indem wir den gegeben einen Kilometer durch die Geschwindigkeit teilen:

    \[ \mathrm{Dauer\ in\ Stunden} = \frac{1\ \mathrm{km}}{\mathrm{Geschwindigkeit\ in\ km/h}}\]

Wenn wir die Geschwindigkeit in km/h mit x bezeichnen, dann gibt uns also die Funktion f(x) = \frac{1}{x} die Dauer in Stunden an.

Was aber hat dies mit negativen Exponenten zu tun? Das sehen wir, wenn wir uns daran erinnern, dass man laut der Potenzgesetze \frac{1}{x} auch als x^{-1} schreiben kann. Unsere Funktion lautet damit f(x) = x^{-1}, womit wir das erste Beispiel für eine Potenzfunktion mit einem negativen Exponenten haben!

Quader mit Seitenlängen x, x, y
Wie hoch muss der Kasten sein?

Kommen wir zu einem zweiten Beispiel. Hier stellen wir uns vor, wir sollen einen quaderförmigen Kasten konstruieren, der ein Volumen von genau 1~\mathrm{m}^3 hat. Die Grundfläche ist quadratisch mit Seitenlängen x, d.h., er ist x\mathrm{m} breit und lang. Die passende Höhe y soll in Abhängigkeit von x bestimmt werden.

Ist x zum Beispiel 1~\mathrm{m}, dann muss y ebenfalls 1~\mathrm{m} lang sein, denn dann beträgt sein Volumen 1~\mathrm{m}\cdot 1~\mathrm{m}\cdot 1~\mathrm{m} = 1~\mathrm{m}^3, denn um das Volumen zu berechnen, muss man alle drei Seitenlängen multiplizieren.

Wie hoch muss der Kasten aber sein, wenn x stattdessen 2~\mathrm{m} lang ist?
In diesem Fall beträgt sein Volumen 2~\mathrm{m}\cdot 2~\mathrm{m} \cdot y~\mathrm{m} = 4\cdot y~\mathrm{m}^3. Damit dies 1~\mathrm{m}^3 ergibt, muss also y=\frac{1}{4}~\mathrm{m} sein.

Graph von y=x^-2
Der Graph unserer zweiten Funktion

Allgemein muss gelten x~\mathrm{m}\cdot x~\mathrm{m} \cdot y~\mathrm{m} = 1~\mathrm{m}^3 oder kurz x^2\cdot y = 1. Lösen wir dies nach y auf, erhalten wir

    \[ y = x^{-2}\]

und haben damit unsere zweite Beispielfunktion gefunden.

Der Graph dieser Funktion sieht dem Graphen aus dem ersten Beispiel recht ähnlich. Im Detail unterscheiden sie sich jedoch. Dies betrachten wir nun etwas genauer.
Sieht man genau hin, erkennt man, dass er nahe der y-Achse steiler ist und sich für wachsende x-Werte schneller der x-Achse annähert.

Besonderheiten der Graphen

Wir betrachten die Graphen der Funktionen ab nun auch für negative x-Werte, da so einige Unterschiede erst sichtbar werden.

Hier sehen wir ein paar Graphen zu Funktionen mit negativen geradem Exponenten, also zum Beispiel -2, -4,\dots.

Einige Graphen
Beispielgraphen für gerade Exponenten

Folgende Besonderheiten fallen auf:

  • Die Graphen sind achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.
  • Sie verlaufen alle durch die Punkte (-1|1) und (1|1).
  • Nahe der y-Achse steigen sie ins Unendliche.
  • Es gibt nur positive Funktionswerte.
  • Jede postive Zahl kommt als y-Wert vor.
  • Für x=0 gibt es keinen y-Wert.
  • Die Graphen schneiden nie die x-Achse.
  • Für wachsende x-Werte nähern sie sich asymptotisch der x-Achse an, für sinkende negative x-Werte ebenfalls.

Ein Verhalten wie bei diesen Graphen bei x=0 haben wir bisher noch nicht gesehen. Man sagt, dass dort ein Pol ohne Vorzeichenwechsel vorliegt.

Dass es für x=0 keinen y-Wert gibt, liegt daran, dass man in diese Funktionen x=0 nicht einsetzen darf, denn dann würde man durch Null teilen! Man spricht hier auch von einer Definitionslücke. Das soll heißen, dass der Funktionswert für x=0 nicht definiert ist.

Kommen wir nun zu Funktionen mit ungeradem Exponent.

Einige Graphen
Beispielgraphen für ungerade Exponenten

Folgende Besonderheiten fallen hier auf:

  • Die Graphen sind punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs.
  • Sie verlaufen alle durch die Punkte (-1|-1) und (1|1).
  • Es gibt postive und negative y-Werte.
  • Jede Zahl außer Null kommt als y-Wert vor.
  • Nahe der y-Achse wandern sie rechts ins Unendliche, links jedoch fallen sie ins negative Unendliche.
  • Für x=0 gibt es keinen y-Wert.
  • Die Graphen schneiden nie die x-Achse.
  • Für wachsende x-Werte nähern sie sich von oben asymptotisch der x-Achse an, für sinkende negative x-Werte nähern sie sich von unten an diese.

Bei diesen Graphen spricht man bei x=0 von einem Pol mit Vorzeichenwechsel.

Potenzfunktionen mit Brüchen im Exponenten

Einführung

Quadrat mit Seitenlängen x.
Der Flächeninhalt wird in Abhängigkeit der Seitenlänge dargestellt.

Betrachten wir hier zunächst eine Situation, die uns bekannt vorkommen sollte.

Angenommen, wir haben ein Quadrat mit der Seitenlänge x vorliegen. Dann beträgt sein Flächeninhalt x^2.
Stellen wir den Flächeninhalt in Abhängigkeit der Seitenlänge x dar, erhalten wir die uns bekannt Funktion y=x^2. Der Graph dieser Funktion ist die Normalparabel.

Quadrat mit Flächeninhalt x
Die Seitenlänge wird in Abhängigkeit der Flächeninhalts dargestellt.

Nun betrachten wir die umgekehrte Situation.

In einem anderen Quadrat geben wir vor, dass der Flächeninhalt x betragen soll. Die Frage ist nun, wie die Seitenlänge gewählt werden muss, damit das Quadrat diesen gewünschten Flächeninhalt hat.
Geben wir zum Beispiel den Flächeninhalt x=4 vor, dann müssen wir die Seitenlänge 2 wählen, denn 2 \cdot 2 = 4.
Allgemein muss die Seitenlänge also so gewählt werden, dass sie mit sich selbst multipliziert den Flächeninhalt x ergibt. Mit anderen Worten, ihr Quadrat muss x ergeben.
Daran erkennen wir, dass die Seitenlänge genau die Wurzel von x sein muss. In dieser Situation erhalten wir also die Funktion y=\sqrt{x}. Die Potenzgesetze sagen uns, dass wir dies aber auch schreiben können als y=x^\frac{1}{2}. So haben wir das erste Beispiel für eine Potenzfunktion mit einem Bruch im Exponenten gefunden.

Wertetabelle und Graph

Vergleichen wir einmal die Wertetabellen der beiden oben beschriebenen Funktionen:

x 0 1 2 3 4
y=x^2 0 1 4 9 16
x 0 1 4 9 16
y=x^{1/2} 0 1 2 3 4

Diese beiden Wertetabellen sehen fast gleich aus. Lediglich die beiden Zeilen wurden vertauscht, was im Kontext ja durchaus auch logisch erscheint.

Diesen Vertauschen den beiden Zeilen, wird auch deutlich, wenn wir die Graphen der beiden Funktionen betrachten:

Normalparabel und Graph der Wurzelfunktion
Beide Graphen sehen sehr ähnlich aus, jedoch sind x und y vertauscht.

Für die Erstellung der Inhalte wurde die Software des TI-Nspire™ CX CAS verwendet, eingetragene Warenzeichen von Texas Instruments.